როდესაც მათემატიკა შეხვდა ბეთჰოვენს

მუსიკა და მათემატიკა ხშირად საპირისპირო, რადიკალურად განსხვავებულ სფეროებად მიიჩნევა, რადგან ერთი შემოქმედებით და მხატვრულ თვითგამოხატვასთან ასოცირდება, ხოლო მეორე – ლოგიკასა და სიზუსტესთან. თუმცა სინამდვილეში ეს ორი სამყარო ერთმანეთთან მჭიდროდ არის დაკავშირებული და ეს განსაკუთრებით ლუდვიგ ვან ბეთჰოვენის მუსიკაშია თვალშისაცემი.

გერმანელი კომპოზიტორის მუსიკისადმი მათემატიკური მეთოდებით მიდგომამ ბევრი რამ გამოავლინა მისი სტრუქტურის, ესთეტიკისა და შემოქმედებითი პროცესის შესახებ.

სტრუქტურა და პროპორციები ბეთჰოვენის მუსიკაში

ბეთჰოვენის მუსიკას ახასიათებს უაღრესად დაბალანსებული და სიმეტრიული სტრუქტურა, რომლის აღწერა ხშირად მათემატიკური პროპორციების გამოყენებით არის შესაძლებელი. მისი მრავალი კომპოზიცია შეიცავს სიმეტრიებს, რომლებიც დაკავშირებულია ოქროს თანაფარდობასთან (1,618…) – რიცხვთან, რომელიც ბუნებასა და ხელოვნებაში ესთეტიკურ ჰარმონიასთან არის გაიგივებული.

ასე მაგალითად, მე-5 სიმფონიაში თემების სტრუქტურა და მუსიკალური ფრაზების თანმიმდევრობა, როგორც ჩანს, მიჰყვება პროპორციებს, რომლებიც ოქროს შუალედს უახლოვდება. სიმფონიის გრძელი და მოკლე ნაწილების განაწილება ქმნის ბალანსს, რომელიც მათემატიკოსებმა და მუსიკოსებმა შეისწავლეს. საფორტეპიანო სონატაში № 23 „აპასიონატა“, თემების განვითარება და კულმინაციების განლაგება ავლენს პროპორციულ ურთიერთობებს, რომლებიც შეიძლება რიცხობრივად გაანალიზდეს.

ეს პროპორციები არ არის შემთხვევითი კომპოზიციის შედეგი. ის, სავარაუდოდ, ბეთჰოვენის მიერ მათემატიკური ლოგიკის შეგნებულად გამოყენების პროდუქტია.

ფუგა და ჯგუფთა თეორია

ბეთჰოვენი თავის კომპოზიციებში ხშირად იყენებდა ფუგას – მუსიკალურ ფორმას, რომელიც კონტრაპუნქტზე და თემების რეპროდუქციაზე არის დაფუძნებული. ფუგა შეიძლება გაანალიზდეს მათემატიკურად, რადგან ის შეიცავს გამეორებებს, გარდასახვას და სიმეტრიებს, რომელთა აღწერა ჯგუფთა თეორიის თვალსაზრისითაც შეიძლება.

„დიდ ფუგაში“ („Grosse Fuge“, Op. 133) განმეორებადი თემატური ხაზები და მათი ვარიაციები გარკვეულ კანონზომიერებას მიჰყვება. მათემატიკოსები ამ ფუგას ახასიათებენ, როგორც რთულ სისტემას, რომელშიც თითოეული თემატური იდეა გარკვეული წესების მიხედვით არის შებრუნებული და ტრანსფორმირებული. ეს გარდასახვები შეიძლება მათემატიკური ფუნქციების სახით იყოს წარმოდგენილი.

ჰარმონიისა და რიცხვთა თეორია

ბეთჰოვენის მუსიკაში ჰარმონია, კომპოზიტორის მთელი მისი სიცოცხლის მანძილზე, მნიშვნელოვნად იცვლებოდა ინოვაციებით, რომლებიც დადგენილ წესებს უპირისპირდება. ნოტებსა და აკორდებს შორის ურთიერთობები ჰარმონიის თეორიაში რიცხობრივ თანაფარდობებს ემყარება.

ჰარმონიისთვის გამოყენებული მათემატიკური ცნებები მოიცავს:

სიხშირეთა თანაფარდობებს: სკალის ნოტებით შექმნილი სიხშირეები ქმნიან მათემატიკურ თანაფარდობებს, რომლებიც ან „ჰარმონიულია” (მაგალითად, 2:1 ოქტავისთვის, 3:2 მეხუთედისთვის) ან „დისონანსური“ („არათანმიმდევრული“). ბეთჰოვენმა ეს თანაფარდობები გამოხატვის ახალი გზების ძიებისთვის გამოიყენა.

პროგრესული ცვლილებები ტონალობაში: მე-9 სიმფონიაში, მაგალითად, ტონიდან ტონზე გადასვლა, მისი რთული სტრუქტურის წარმოჩენის მიზნით, შეიძლება მათემატიკური გზით გაანალიზდეს.

რიტმული სტრუქტურის ანალიზი

ბეთჰოვენის მუსიკის რიტმული სირთულე კიდევ ერთი სფეროა, სადაც მათემატიკა მნიშვნელოვან როლს ასრულებს. მათემატიკოსებმა შეისწავლეს რიტმული ჯგუფების გამოყენება მის კომპოზიციებში და გამოავლინეს განმეორებადი თანმიმდევრობები, რომელთა აღწერა მათემატიკური ტერმინებით შეიძლება.

მაგალითად, მე-5 სიმფონიის საწყისი მოტივი (ოთხი ტაქტი: „C-double-D G“) იყენებს მარტივ, მაგრამ ძალიან დინამიკურ რიტმულ თანმიმდევრობას, რომელიც მთელ სიმფონიას გასდევს. ამ მოტივის გამეორება და ვარიაციები ქმნის რიტმულ „კოდს“, რომელიც მთელ ნაწარმოებშია ჩადებული

სონატა „ჰამერკლავირის“ რიტმი, მისი სირთულის დასადგენად, დიაგრამებისა და მათემატიკური მოდელების გამოყენებით გაანალიზდა.

აკუსტიკა და მუსიკის აღქმა

აკუსტიკა, როგორც ფიზიკის დარგი, რომელიც პირდაპირ კავშირშია მათემატიკასთან, მეცნიერებს იმის გაგებაში დაეხმარა, თუ როგორ იყენებდა ბეთჰოვენი ბგერებს და ჰარმონიებს. სმენის პროგრესირებადი დაქვეითების მიუხედავად ბეთჰოვენმა ნაწარმოებების შექმნა განსაკუთრებული აკუსტიკური დეტალების გამოყენებით განაგრძო.

მისი მუსიკის აკუსტიკის შესწავლა მოიცავს:

– დინამიკის ანალიზს (მაგალითად, კრეშენდო და დიმინუენდო) და მათ კავშირს ხმის სიძლიერესთან;

– სიხშირეების გამოყენებას გასაოცარი ეფექტების შესაქმნელად, როგორიცაა კულმინაცია და ტონის შეცვლა სიმფონიებსა და სონატებში.

მათემატიკური მოდელირება ბეთჰოვენის მუსიკის შესასწავლად

მათემატიკოსებმა და მუსიკოსებმა ბეთჰოვენის კომპოზიციების გასაანალიზებლად თანამედროვე ტექნოლოგიები და კომპიუტერული მოდელები გამოიყენეს. მათ შორის:

– ალგორითმული ანალიზი (მის პარტიტურებში სტრუქტურული ელემენტების იდენტიფიცირებისთვის);

– ფურიეს ანალიზი, რომელიც მისი ნამუშევრების მიერ წარმოქმნილი ბგერების სიხშირეების შესწავლისთვის გამოიყენება.

ლუდვიგ ვან ბეთჰოვენის მუსიკა არა მხოლოდ მისი მხატვრული გენიოსობის მტკიცებულებაა, არამედ მაგალითია იმისა, თუ როგორ შეუძლიათ მათემატიკასა და ხელოვნებას ერთად მუშაობა შედევრების შესაქმნელად. მის მიერ გამოყენებული პროპორციები, სტრუქტურები, რიტმები და ჰარმონიები წარმოაჩენს დაფარულ მათემატიკურ ლოგიკას, რომელიც ბეთჰოვენის მუსიკის ღრმა ემოციურ გავლენას აძლიერებს. მათემატიკის დახმარებით შეგვიძლია უკეთ გავიაზროთ ბეთჰოვენის შემოქმედება – როგორც მხატვრული ფენომენი და როგორც მეცნიერული საოცრება.

ERT News – საბერძნეთის სამაუწყებლო კორპორაციის ახალი ამბები